Concepts empiriques et idéalités mathématiques

Je reprends ici les discussions du post précédent. L'enjeu était de montrer que le recours à des idéalités mathématiques est inutile, et repose sur une comparaison trompeuse avec les objets naturels. Je voudrais soutenir mon propos par une étude plus détaillée de ce qu'est un concept.

Soit une maison. 

Le concept d'une maison pourrait être : 

1) les caractéristiques structurelles, ou formelles, permettant la reconnaissance de la maison.

2) la fonction de la maison, en l'occurrence, y habiter.

3) la série des procédures permettant de construire la maison.

Bien entendu, ce concept étant empirique, et de plus, soumis à des contraintes culturelles et technologiques fluctuantes, le concept de la maison évolue et est en partie flou. Par exemple, il serait inenvisageable en Europe de construire une maison sans installer l'électricité, mais on pourrait admettre qu'une maison sans électricité en soit une. De même, la fonction d'une maison peut être détournée ou bien se rapprocher de la fonction d'autres structures (la différence entre une maison et un château n'est pas évidente : on peut habiter dans les deux de la même façon). Cependant, on a quand même trois manières bien distinctes de comprendre le concept d'un objet.

Tant que l'on est dans le domaine empirique, il existe toujours un lien, lui aussi de nature empirique, entre ces trois aspects possibles d'un concept. Étant donné une procédure de construction, il est possible de déduire la forme que prendra l'objet final. Autrement dit, la procédure donne la structure. De même, connaissant la structure, il est plus ou moins possible de comprendre la fonction. Ici, il y a évidemment plus de liberté, mais les propriétés structurelles ont quand même toujours un rapport avec la fonction. Les éléments structurels les plus essentiels d'une maison sont le toit et les murs. La raison est bien sûr que ce sont eux qui protègent du froid, du vent, etc. Je précise bien que tous ces liens sont empiriques, même le lien entre procédure de construction et structure, qui pourtant peut paraître de nature quasiment logique. Par exemple, dans une maison, il faut mettre du ciment à chaque couche de briques, de pierres, ou de parpaings. Que le ciment durcisse et permette à la maison de s'élever solidement est une vérité empirique. L'effet structurel du ciment n'est pas une vérité logique.

Mais venons-en maintenant au monde des idéalités mathématiques. Comment caractériser les concepts que l'on utilise en mathématiques? On a toujours considéré que les meilleurs entités pouvant prétendre au titre d'idéalité mathématiques sont les entiers naturels. Prenons donc le 2 (j'imagine que tout le monde voit à quel point le simple fait d'écrire "le 2", et j'ai hésité avec "le deux", défie les usages). Quel est son concept? Je reprends mes trois caractérisations ci-dessus :

1) la structure. Je peux certes reconnaître par leur structure deux pommes, deux personnes, etc. mais pas le 2, car le 2 ne se perçoit pas par les sens, ce qui m'interdit d'en voir la structure. Est-ce que je peux le voir par l'esprit? Non, car bien que ce soit une notion très facile à manipuler, il n'est pas du tout clair pour moi de savoir quand mes pensées portent sur le 2 lui-même, et pas sur autre chose comme deux choses pensées, l'opération d'ajouter deux à autre chose, un ensemble quelconque comprenant deux éléments, etc. 

2) la fonction. Je crois qu'il est presque impossible de répondre à la question de savoir à quoi sert le 2. Je pense que cette question n'a aucun sens. Le 2 est le résultat d'opérations arithmétiques, il est aussi un entier que je peux ajouter, retrancher, multiplier à d'autres entiers, etc. Mais ceci n'est pas une fonction du 2, mais seulement des opérations qui contiennent le 2 à titre de composant définissant la nature de ces opérations. 

3) les procédures. Enfin, les choses deviennent ici plus claires! Car il est très facile et compréhensible de caractériser le 2 par les procédures de construction. Il y a en beaucoup, et tout le monde les connait : 1+1 ; 4-2, 2*1, etc. Toutes ces procédures, en nombre infini bien sûr, en reviennent au même, puisqu'elles sont toutes des procédures aboutissant au même résultat.

Que peut-on déduire de ceci? Que ma conception selon laquelle les mathématiques ne parlent de rien, mais sont des règles relatives à la quantification (et à la construction de figures) ont l'évidence de leur coté. Car personne n'arrive à dire très clairement quel genre d'objets sont désignés par les termes mathématiques, et comment on peut connaître ces objets. L'intuition intellectuelle n'a jamais été très intuitive, c'est le moins qu'on puisse en dire. Par contre, quand on caractérise un terme mathématique par l'ensemble des procédures qui y mènent, on retrouve les opérations mathématiques habituelles et le mystère disparaît. Le terme sert seulement à fixer une identité aux procédures. Chaque fois que des procédures sont équivalentes, alors elles doivent produire le même terme. J'ai ici pris l'exemple des nombres entiers, mais on pourrait en dire autant des courbes représentant une fonction. La courbe permet de comprendre facilement ce que fait une fonction, si deux fonctions ont approximativement les mêmes tendances, ou pas. La fonction ne dessine donc pas de courbe dans le ciel des idées, nous avons simplement là une technique de représentation permettant de comparer des procédures de construction. 

La nature de l'erreur du platonisme mathématique est de concevoir les mathématiques comme la nature, et de s'imaginer que l'objet construit a une antériorité sur la procédure de construction. Il est vrai que, dans l'esprit de l'artisan, l'idée du lit préexiste le lit réel, et que c'est l'idée du lit qui guide le type de procédures à mettre en oeuvre. L'idée du lit, dans ma terminologie, c'est à la fois la structure et la fonction. L'artisan veut un lit en bois, suffisamment solide pour que de lourdes personnes puissent s'y coucher, et de ceci, l'artisan tire les procédures adéquates.

Mais en mathématiques, les choses se passent d'une manière très différente. Personne ne se représente des objets avant de mettre en œuvre des procédures. Et ceci, pour la simple et bonne raison qu'il n'y a rien derrière les procédures. L'objet mathématiques a une étiquette (ou une représentation graphique), et sa procédure de construction. Mais l'étiquette n'est pas une idéalité ; la représentation graphique non plus. Ces choses-ci nous servent à réfléchir, à obtenir des points de repos dans le raisonnement. Mais ces points de repos sont des pauses dans la construction, mais pas des idéalités. Quand je fais un calcul arithmétique long et laborieux, j'ai besoin de pouvoir m'arrêter un peu pour souffler et décharger ma mémoire, et je le fais grâce à un signe. Mais ce signe, ce "2", ne contient rien d'autres que toutes les étapes de construction qui ont mené jusqu'à lui. Il n'y a rien de plus, et surtout pas de nombre entier idéal.

Dans sa Lettre à Sophie du 12 juin 1700, Leibniz parlait des "pensées sourdes", qui sont "comme dans l'algèbre où on pense aux symboles à la place des choses". Leibniz a tout à fait raison : les symboles servent d'économie de pensée. Ils nous évitent de penser à des opérations qui peuvent être extrêmement longues. Mais les symboles mathématiques n'ont pas de référence.C'est leur différence avec les concepts empiriques. Et surtout, les représentations graphiques ne représentent pas des idéalités. Elles ne représentent que nos procédures de construction, mises sous une forme plus facile à lire.